Este es el segundo diagrama de bloques que vamos a ver, igual está sencillo. La parte complicada de hallar la función de transferencia de estos diagramas de bloques es el álgebra. Cuando tenemos nuestras ecuaciones ya planteadas resulta un poco confuso saber qué sustituir para obtener la función de transferencia, pero por el momento no hay que preocuparnos de eso, el ejemplo a ver está sencillo.
Calcular la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques
Para las integrales que se encuentran en el diagrama, hay que tener en cuenta a Laplace ya que la transformada de Laplace de las integrales de nuestro diagrama son iguales a \frac{1}{s}, sustituyamos en el diagrama:
Lo que haremos a continuación será nombrar las salidas de los comparadores (los círculos):
Como se puede apreciar en el diagrama anterior, agregamos nombres a algunas salidas, ahora que tenemos la salida A y la salida B, vamos a plantear las ecuaciones.
Planteemos la ecuación para la salida A. Lo que se observa es que la salida A tiene dos entradas, una de esas entradas es positiva y es x y la otra entrada es negativa, en esta entrada negativa está involucrado el bloque 4, el bloque \frac{1}{s} y la salida A asumiendo que “están” conectados en serie. La ecuación de la salida A es la siguiente:
A = - \cfrac{4A}{s} + x
Planteemos la ecuación para la salida B. La salida B tiene tres entradas, una positiva y las otras dos son negativas. En la entrada positiva sólo se encuentra x, en la entrada superior negativa hay que involucrar al bloque 2, al bloque \frac{1}{s} y a la salida A asumiendo que “están” conectados en serie. La entrada inferior negativa tiene que tener involucrado al bloque [katexs]3[/katex], al bloque \frac{1}{s} y a la salida B asumiendo que “están” conectados en serie. La ecuación de la salida B es la siguiente:
B = - \cfrac{2A}{s} - \cfrac{3B}{s} + x
Planteemos la última ecuación para la salida y. La salida y sólo tiene dos entradas y las dos son positivas. La entrada superior tiene involucrados al bloque \frac{1}{s} y a la salida A asumiendo que “están” conectados en serie. La entrada inferior tiene involucrado al bloque \frac{1}{s} y a la salida B asumiendo de que “están” conectados en serie. La ecuación de la salida de y es la siguiente:
y = \cfrac{A}{s} + \cfrac{B}{s}
Aquí vamos con la parte más tediosa, la parte del álgebra de hallar la función de transferencia. Si tienes la oportunidad de usar algún software para escribir las ecuaciones y que dé la función de transferencia, sería un gran alivio, si no es así tendrás que hallar la función de transferencia manualmente paso a paso. Continuemos.
Tomando la ecuación de A, haremos lo siguiente, pasamos sumando a la fracción:
A + \cfrac{4A}{s} = x
Seguidamente factorizamos a la A:
A\left( 1 + \cfrac{4}{s} \right) = x
Y pasamos dividiendo el paréntesis:
A = \cfrac{x}{\left(1 + \frac{4}{s} \right)}
Ahora tomaremos la ecuación de B y pasaremos sumando a la fracción que tiene B:
B + \cfrac{3B}{s} = - \cfrac{2A}{s} + x
Ahora factorizamos la B:
B \left(1 + \cfrac{3}{s} \right) = x - \cfrac{2A}{s}
Pasamos dividiendo el paréntesis:
B = \cfrac{x - \frac{2A}{s}}{\left( 1 + \frac{3}{s} \right)}
Y simplificamos el paréntesis, multiplicamos por una s tanto en el numerador como en el denominador para que se cancelen las s de las fracciones:
B = \cfrac{sx - 2A}{s + 3}
Lo que haremos ahora es tomar la ecuación de y y sustituiremos los valores de A y B que tiene:
y = \cfrac{A}{s} + \cfrac{B}{s} = \cfrac{1}{s} \left(\cfrac{x}{\left( 1 + \frac{4}{s} \right)} \right) + \cfrac{1}{s} \left( \cfrac{sx - 2A}{s + 3} \right)
Multipliquemos los paréntesis con las fracciones de \frac{1}{s} para obtener:
y = \cfrac{x}{s + 4} + \cfrac{x - \frac{2}{s} A}{s+3}
Ahora sustituyamos la A que queda con la A que habíamos simplificado:
y = \cfrac{x}{s + 4} + \cfrac{x - \frac{2}{s} \left( \frac{x}{\left( 1 + \frac{4}{s} \right)} \right)}{s+3}
Multiplicamos el paréntesis por la fracción de \frac{2}{s}:
y = \cfrac{x}{s+4} + \cfrac{x - \frac{2x}{s+4}}{s+3}
Ahora factorizaremos a la x de las fracciones:
y = x \left[ \cfrac{1}{s+4} + \cfrac{1 - \frac{2}{s+4} }{s + 3} \right]
Muy bien, esa x la pasamos dividiendo a la y para que no nos estorbe y bien podamos reducir las fracciones hasta obtener nuestra función de transferencia:
\cfrac{y}{x} = \cfrac{1}{s+4} + \cfrac{1 - \frac{2}{s+4} }{s+3}
Hacemos la suma de fracciones del numerador que tiene una fracción:
\cfrac{y}{x} = \cfrac{1}{s+4} + \cfrac{\frac{s + 4 - 2}{s + 4}}{s+3}
Ahora pasamos el s+4 del numerador al denominador por la ley del sándwich, emparedado o torta y hacemos la suma de 4-2:
\cfrac{y}{x} = \cfrac{1}{s + 4} + \cfrac{s+2}{(s+4)(s+3)}
Ya casi terminando, hacemos la suma de fracciones:
\cfrac{y}{x} = \cfrac{s+3 + s+2}{(s+4)(s+3)}
Multiplicando los binomios del denominador y sumando los términos del numerador, obtendremos nuestra bella función de transferencia:
\cfrac{y}{x} = \cfrac{2s + 5}{s^{2} + 7s + 12}
Nota:
Por ahora estas funciones de transferencia (las del ejercicio 1 y este ejercicio) que hemos calculado han estado sencillas, en sí son sencillas, lo complicado estará cuando se tenga un diagrama de bloques muy grande y hayan muchas ecuaciones. Ya sabemos plantear las ecuaciones para hallar la función de transferencia, eso es un gran avance, resolver esas ecuaciones halladas es lo tedioso pero (tal vez) divertido.
Gracias por estar en este momento con nosotros : )
