Ahora el problema ya no va de sumar o restar fracciones, sino que ahora hay que ir del resultado hacia las sumas y las restas de fracciones, hacer la descomposición de fracciones parciales. Lo que se quiere decir es que ahora vamos a descomponer fracciones dadas en una suma o resta de fracciones más sencillas a las que conocemos como fracciones parciales. Vamos a ir de una vez a los ejemplos ya que considero que se aprende mejor con la marcha en los ejercicios para resolver todos los casos de fracciones parciales paso a paso.
Fracciones parciales caso 1. Factores lineales distintos.
Representación del caso de factores lineales distintos:
\cfrac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \cfrac{A}{x+1} + \cfrac{B}{x+2} + \cfrac{C}{x+3}
Ejemplo del caso de factores lineales distintos:
Descomponer en fracciones parciales: \cfrac{3x^{2} - 5x - 52}{(x + 2)(x - 4)(x + 5)}.
Ya que todos los factores del denominador son lineales y diferentes, podemos escribir la siguiente identidad:
\cfrac{3x^{2} -5x - 52}{(x + 2)(x-4)(x+5)} = \cfrac{A}{x+2} + \cfrac{B}{x-4} + \cfrac{C}{x+5}
Para continuar con la resolución, lo que haremos es eliminar todos los denominadores multiplicando toda la igualdad por los denominadores del primer miembro:
(x+2)(x-4)(x+5)\left(\cfrac{3x^{2} -5x - 52}{(x + 2)(x-4)(x+5)} = \cfrac{A}{x+2} + \cfrac{B}{x-4} + \cfrac{C}{x+5}\right)
Efectuando la multiplicación tendremos lo siguiente:
3x^{2} - 5x - 52 =
\cfrac{A(x+2)(x-4)(x+5)}{x+2} + \cfrac{B(x+2)(x-4)(x+5)}{x-4} + \cfrac{C(x+2)(x-4)(x+5)}{x+5}
3x^{2} - 5x - 52 =
\cfrac{A\cancel{(x+2)}(x-4)(x+5)}{\cancel{x+2}} + \cfrac{B(x+2)\cancel{(x-4)}(x+5)}{\cancel{x-4}} +
\cfrac{C(x+2)(x-4)\cancel{(x+5)}}{\cancel{x+5}}
3x^{2} - 5x - 52 = A(x-4)(x+5) + B(x+2)(x+5) + C(x+2)(x-4)
Ahora lo que se tiene que proceder a hacer es a multiplicar los paréntesis:
3x^{2} - 5x - 52 = A(x^{2} + 5x - 4x - 20) + B(x^{2} + 5x + 2x + 10) + C(x^{2} -4x + 2x - 8)
3x^{2} - 5x - 52 = A(x^{2} + x - 20) + B(x^{2} + 7x + 10) + C(x^{2} - 2x - 8)
Una vez que ya se tengan los paréntesis multiplicados, se procede a agrupar las letras mayúsculas con respecto a los términos de x^{2}, x y términos sin x:
3x^{2} - 5x - 52 = (A + B + C)x^{2} + (A + 7B-2C)x -20A + 10B - 8C
Seguidamente hay que igualar todos los términos de x^{2}, x y términos independientes del segundo miembro con respecto a los x^{2}, x y término independiente del primer miembro, así es como obtendremos nuestras ecuaciones:
\begin{array}{r c l}
3x^{2} & = & (A + B + C)x^{2} \\
-5x & = & (A + 7B - 2C)x \\
-52 & = & -20A + 10B - 8C
\end{array}Eliminamos las equis y como consecuencia tendremos nuestras ecuaciones a resolver:
\begin{array}{r c l}
3 & = & A + B + C\\
-5 & = & A + 7B - 2C\\
-52 & = & -20A + 10B - 8C
\end{array}La solución de este sistema de ecuaciones es el siguiente:
A = \cfrac{5}{3} \qquad B =\cfrac{-4}{9} \qquad C = \cfrac{16}{9}
Con estos valores hallados, vamos a sustituirlos en nuestras fracciones parciales de al principio:
\cfrac{3x^{2} -5x - 52}{(x + 2)(x-4)(x+5)} = \cfrac{\frac{5}{3}}{x+2} + \cfrac{\frac{-4}{9}}{x-4} + \cfrac{\frac{16}{9}}{x+5}
Simplificando, tendremos nuestra siguiente solución en unas fracciones simples:
\cfrac{3x^{2} -5x - 52}{(x + 2)(x-4)(x+5)} = \cfrac{5}{3(x+2)} + \cfrac{-4}{9(x-4)} + \cfrac{16}{9(x+5)}
De todos los distintos modelos de fracciones parciales este es uno de los más sencillos de resolver, los demás sólo son ligeramente más complicados.
Fracciones parciales caso 2. Factores lineales repetidos.
Representación del caso de factores lineales repetidos:
\cfrac{1}{(x+1)(x+1)(x+2)} = \cfrac{1}{(x+1)^{2}(x+2)}=\cfrac{A}{x+1} + \cfrac{B}{(x+1)^{2}} + \cfrac{C}{x+2}
Ejemplo del caso de factores lineales repetidos:
Descomponer la siguiente fracción \cfrac{9x^{3} + 16x^{2} + 3x - 10}{x^{3}(x + 5)} en sus fracciones parciales.
Al proceso es similar al caso 1, la única “diferencia” que tiene es que colocaremos tantos coeficientes de letras mayúsculas como factores repetidos hayan, observa:
\cfrac{9x^{3} + 16x^{2} + 3x - 10}{x^{3}(x + 5)} = \cfrac{A}{x} + \cfrac{B}{x^{2}} + \cfrac{C}{x^{3}} + \cfrac{D}{x+5}
Y a partir de aquí realizamos el mismo proceso como se explicó en el caso 1.
Vamos a multiplicar toda la igualdad por los factores del denominador del primer miembro para que se cancelen:
x^{3}(x+5) \left(\cfrac{9x^{3} + 16x^{2} + 3x - 10}{x^{3}(x + 5)} =\cfrac{A}{x} + \cfrac{B}{x^{2}} + \cfrac{C}{x^{3}} + \cfrac{D}{x+5}\right)
Cancelamos términos:
9x^{3} + 16x^{2} + 3x - 10 = \cfrac{Ax^{\cancel{3}}(x+5)}{\cancel{x}} + \cfrac{Bx^{\cancel{3}}(x+5)}{\cancel{x^{2}}} + \cfrac{C\cancel{x^{3}}(x+5)}{\cancel{x^{3}}} + \cfrac{Dx^{3}\cancel{(x+5)}}{\cancel{x+5}}
9x^{3} + 16x^{2} + 3x - 10 = Ax^{2}(x+5) + Bx(x+5) + C(x+5) + Dx^{3}
Multiplicamos los paréntesis:
9x^{3} + 16x^{2} + 3x - 10 = A(x^{3} + 5x^{2}) + B(x^{2} + 5x) + C(x+5) + D(x^{3})
Y ahora ordenamos los términos con respecto a los exponentes de las equis:
9x^{3} + 16x^{2} + 3x - 10 = (A + D)x^{3} + (5A + B)x^{2} + (5B + C)x + 5C
Seguidamente hay que igualar todos los términos de x^{3}, x^{2}, x y término independiente del segundo miembro con respecto a los x^{3}, x^{2}, x y término independiente del primer miembro, así es como obtendremos nuestras ecuaciones:
\begin{array}{r c l}
9x^{3} & = & (A + D)x^{3} \\
16x^{2} & = & (5A + B)x^{2} \\
3x & = & (5B + C)x \\
-10 & = & 5C
\end{array}Eliminamos las equis y como consecuencia tendremos nuestras ecuaciones a resolver:
\begin{array}{r c l}
9 & = & A + D \\
16 & = & 5A + B \\
3 & = & 5B + C \\
-10 & = & 5C
\end{array}Cuando resuelvas el sistema de ecuaciones te van a quedar los siguientes valores:
A = 3 \qquad B = 1\qquad C = -2 \qquad D = 6
Con estos coeficientes hallados, vamos a sustituirlos en nuestras fracciones parciales de al principio:
\cfrac{9x^{3} + 16x^{2} + 3x - 10}{x^{3}(x + 5)} = \cfrac{A}{x} + \cfrac{B}{x^{2}} + \cfrac{C}{x^{3}} + \cfrac{D}{x+5}
\cfrac{3}{x} + \cfrac{1}{x^{2}} - \cfrac{2}{x^{3}} + \cfrac{6}{x+5}
Eso quiere decir que nuestras fracciones parciales son:
\cfrac{3}{x} + \cfrac{1}{x^{2}} - \cfrac{2}{x^{3}} + \cfrac{6}{x+5}
Fracciones parciales caso 3. Factores cuadráticos diferentes.
Representación del caso de factores cuadráticos diferentes:
\cfrac{1}{(x^{2} - x + 1)(x^{2} - x + 2)} = \cfrac{Ax + B}{x^{2} - x + 1} + \cfrac{Cx + D}{x^{2} - x + 2}
Ejemplo del caso de factores cuadráticos diferentes:
Cuando se presentan fracciones que tienen factores cuadráticos en el denominador, la diferencia que va a haber a comparación de los dos casos anteriores es que en el numerador va a aparecer el término de x al principio al momento de que planteemos nuestras fracciones parciales con las letras A, B, C … etc. Con el ejemplo quedará claro lo mencionado.
Descomponer la siguiente fracción \cfrac{3x^{3} - 9x^{2} + 8x - 10}{(x-3)(x^{3} - 2x^{2} - x - 6)} en sus fracciones parciales.
Una vez que se planteen las fracciones parciales, el procedimiento siguiente es exactamente igual al de los dos casos anteriores, pero en este caso primero hay que factorizar el denominador, y si te habrás dado cuenta, no es tan común la factorización. Para factorizar el término de (x^{3} - 2x^{2} - x - 6) tenemos que hallar el factor de una serie de posibles factores, esos posibles factores se encuentran dividiendo entre todos los divisores enteros del término independiente entre los divisores enteros del coeficiente del término con el exponente más alto. Los divisores del término independiente son:
x = \pm 6 \qquad x = \pm 3 \qquad x = \pm 2 \qquad x = \pm 1
Y los divisores del coeficiente del término con el mayor exponente son:
x = \pm 1
Dividiendo cada combinación, tendremos los siguientes posibles factores:
x = \pm 6 \qquad x = \pm 3 \qquad x = \pm 2 \qquad x = \pm 1
Yo ya ahorré un poco de trabajo y sólo te voy a decir que utilizaremos x = 3 como el factor que divide, así que tendremos:
\cfrac{(x^{3} - 2x^{2} - x - 6)}{(x-3)} = x^{2} + x + 2
(x^{3} - 2x^{2} - x - 6)= (x-3)(x^{2} + x + 2)
Te recomiendo que hagas el procedimiento de hacer la cajita divisora.
Ahora podemos sustituir en la fracción:
\cfrac{3x^{3} - 9x^{2} + 8x - 10}{(x-3)(x^{3} - 2x^{2} - x - 6)}=
\cfrac{3x^{3} - 9x^{2} + 8x - 10}{(x-3)(x-3)(x^{2} + x + 2)}=
\cfrac{3x^{3} - 9x^{2} + 8x - 10}{(x-3)^{2}(x^{2} + x + 2)}
Perfecto, ya que tenemos factorizada esa expresión, podemos proceder a plantear nuestras fracciones parciales, recuerda que ya vimos lo que se hace cuando hay términos repetidos, pero ahorita lo que vamos a ver es lo que se hace cuando hay términos cuadráticos. Cuando hay términos cuadráticos se colocará una suma de dos letras mayúsculas según corresponda y una de ellas tendrá que ser multiplicada por una x:
\cfrac{3x^{3} - 9x^{2} + 8x - 10}{(x-3)^{2}(x^{2} + x + 2)} = \cfrac{A}{x - 3} + \cfrac{B}{(x - 3)^{2}} + \cfrac{Cx + D}{x^{2} + x + 2}
A partir de aquí se hacen los mismos pasos que hemos hecho en los dos casos anteriores, multiplicamos toda la igualdad por términos que cancelen el denominador del primer miembro:
(x - 3)^{2}(x^{2} + x + 2)\left[\cfrac{3x^{3} - 9x^{2} + 8x - 10}{(x-3)^{2}(x^{2} + x + 2)}\right] =
(x - 3)^{2}(x^{2} + x + 2)\left[ \cfrac{A}{x - 3} + \cfrac{B}{(x - 3)^{2}} + \cfrac{Cx + D}{x^{2} + x + 2}\right]
Cancelamos algunos términos:
\cancel{(x - 3)^{2}}\cancel{(x^{2} + x + 3)}\left[\cfrac{3x^{3} - 9x^{2} + 8x - 10}{\cancel{(x-3)^{2}}\cancel{(x^{2} + x + 2)}}\right] =
\left[ \cfrac{A(x - 3)^{2}(x^{2} + x + 2)}{x - 3} + \cfrac{B(x - 3)^{2}(x^{2} + x + 3)}{(x - 3)^{2}} + \cfrac{(Cx + D)(x - 3)^{2}(x^{2} + x + 2)}{x^{2} + x + 2}\right]
Cancelamos más términos:
3x^{3} - 9x^{2} + 8x - 10 =
\left[ \cfrac{A(x - 3)^{\cancel{2}}(x^{2} + x + 2)}{\cancel{x - 3}} + \cfrac{B\cancel{(x - 3)^{2}}(x^{2} + x + 2)}{\cancel{(x - 3)^{2}}} + \cfrac{(Cx + D)(x - 3)^{2}\cancel{(x^{2} + x + 2)}}{\cancel{x^{2} + x + 2}}\right]
3x^{3} - 9x^{2} + 8x - 10 =A(x - 3)(x^{2} + x + 2) + B(x^{2} + x + 2) + (Cx + D)(x - 3)^{2}
Ahora procedemos a multiplicar los paréntesis y a reducir términos:
3x^{3} - 9x^{2} + 8x - 10 =
A(x^{3} + x^{2} + 2x - 3x^{2} - 3x - 6) + B(x^{2} +x + 2) +(Cx + D)(x^{2} - 6x + 9)
= A(x^{3} - 2x^{2} - x - 6) + B(x^{2} +x + 2) +C(x^{3} - 6x^{2} + 9x) + D(x^{2} - 6x + 9)
Ahora vamos a ordenar todos los términos con respecto a las equis:
3x^{3} - 9x^{2} + 8x - 10 =
(A + C)x^{3} + (-2A + B - 6C + D)x^{2} + (-A + B + 9C - 6D)x - 6A + 2B + 9D
Seguidamente hay que igualar todos los términos de x^{3}, x^{2}, x y términos independientes del segundo miembro con respecto a los x^{3}, x^{2}, x y término independiente del primer miembro, así es como obtendremos nuestras ecuaciones:
\begin{array}{r c l}
3x^{3} & = & (A + C)x^{3} \\
-9x^{2} & = & (-2A + B - 6C + D)x^{2}\\
8x & = & (-A+B + 9C - 6D)x\\
-10 & = & -6A + 2B + 9D
\end{array}Eliminamos las equis:
\begin{array}{r c l}
3 & = & A + C \\
-9 & = & -2A + B - 6C + D \\
8 & = & -A+B + 9C - 6D \\
-10 & = & -6A + 2B + 9D
\end{array}Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos los siguientes valores:
A = 2 \qquad B = 1 \qquad C = 1 \qquad D =0
Ahora procedemos a sustituir los valores hallados en nuestras fracciones parciales de al principio:
\cfrac{3x^{3} - 9x^{2} + 8x - 10}{(x-3)^{2}(x^{2} + x + 2)} = \cfrac{A}{x - 3} + \cfrac{B}{(x - 3)^{2}} + \cfrac{Cx + D}{x^{2} + x + 2}
= \cfrac{2}{x - 3} + \cfrac{1}{(x - 3)^{2}} + \cfrac{x}{x^{2} + x + 2}
Finalmente nuestras fracciones parciales son las siguientes:
\cfrac{3x^{3} - 9x^{2} + 8x - 10}{(x - 3)(x^{3} - 2x^{2} - x - 6)} = \cfrac{2}{x - 3} + \cfrac{1}{(x - 3)^{2}} + \cfrac{x}{x^{2} + x + 2}
Fracciones parciales caso 4. Factores cuadráticos iguales.
Representación del caso de factores cuadráticos iguales:
\cfrac{1}{(x^{2}-x+1)(x^{2} - x + 1)(x^{2} - x + 2)} =
\cfrac{1}{(x^{2} - x + 1)^{2}(x^{2} - x + 2)} = \cfrac{Ax+B}{x^{2} - x + 1} + \cfrac{Cx + D}{(x^{2} - x + 1)^{2}} + \cfrac{Ex + F}{x^{2} - x + 2}
Ejemplo del caso de factores cuadráticos iguales:
Vamos a hacer este ejemplo casi sencillo. Descomponer \cfrac{2x^{5} + 4x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1}{(x^{3} + 1)^{3}} en sus fracciones parciales.
Con lo que se observa en el denominador, quiere decir que tenemos que factorizar utilizando la factorización de una suma y diferencia de cubos, trabajemos con el denominador por el momento, recordemos la factorización que dice lo siguiente:
a^3 \pm b^3 = \left( a + b\right) \left(a^2 \pm ab + b^2 \right)
Ahora, nuestro denominador hay que encerrarlo en un signo de agrupación más para que no nos perjudique a la vista ese exponente al cubo:
\left[ \left( x^3 + 1 \right)\right]^{3}
Ahora fácilmente podemos aplicar la factorización de la suma de cubos ya que el 1 no se inmuta si lo elevamos al cubo:
\left[ \left( x^3 + 1\right)\right]^{3} = \left[ \left( x + 1 \right) \left(x^2 - x + 1 \right)\right]^{3}
= \left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}
Ahora que ya lo tenemos factorizado, podemos proceder a sustituirlo en nuestra fracción del ejercicio:
\cfrac{2x^{5} + 4x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1}{(x^{3} + 1)^{3}} = \cfrac{2x^{5} + 4x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1}{\left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}}
Procedamos a escribir nuestras fracciones parciales:
\cfrac{2x^{5} + 4x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1}{\left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}} =
\cfrac{A}{x+1} + \cfrac{B}{(x+1)^{2}}+ \cfrac{C}{(x+1)^{3}} +
\cfrac{Dx + E}{x^{2}-x+1} + \cfrac{Fx + G}{\left(x^{2}-x+1\right)^{2}} + \cfrac{Hx + I}{\left(x^{2}-x+1\right)^{3}}
Multipliquemos toda la igualdad por \left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3} para que se elimine el \left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3} del denominador del primer miembro:
\left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}\left[\cfrac{2x^{5} + 4x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1}{\left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}}\right] =
\left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}\left[\cfrac{A}{x+1} + \cfrac{B}{(x+1)^{2}}+ \cfrac{C}{(x+1)^{3}} +\right.
\left.\cfrac{Dx + E}{x^{2}-x+1} + \cfrac{Fx + G}{\left(x^{2}-x+1\right)^{2}} + \cfrac{Hx + I}{\left(x^{2}-x+1\right)^{3}}\right]
Multipliquemos y cancelemos términos:
\cancel{\left(x + 1 \right)^{3} }\cancel{\left(x^2 - x + 1 \right)^{3}}\left[\cfrac{2x^{5} + 4x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1}{\cancel{\left(x + 1 \right)^{3}}\cancel{ \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}}}\right] =
\cfrac{A\left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}}{x+1} + \cfrac{B\left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}}{(x+1)^{2}}+ \cfrac{C\left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}}{(x+1)^{3}} +
\cfrac{(Dx + E)\left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}}{x^{2}-x+1} + \cfrac{(Fx + G)\left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}}{\left(x^{2}-x+1\right)^{2}} +
\cfrac{(Hx + I)\left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}}{\left(x^{2}-x+1\right)^{3}}
Volvamos a cancelar términos
\cfrac{A\left(x + 1 \right)^{\cancel{3}} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}}{\cancel{x+1}} + \cfrac{B\left(x + 1 \right)^{\cancel{3}} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}}{\cancel{(x+1)^{2}}}+ \cfrac{C\cancel{\left(x + 1 \right)^{3}} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}}{\cancel{(x+1)^{3}}} +
\cfrac{(Dx + E)\left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{\cancel{3}}}{\cancel{x^{2}-x+1}} + \cfrac{(Fx + G)\left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{\cancel{3}}}{\cancel{\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}} +
\cfrac{(Hx + I)\left(x + 1 \right)^{3} \cancel{\left(x^2 - x + 1 \right)^{3}}}{\cancel{\left(x^{2}-x+1\right)^{3}}}
Cancelados nuestros términos obtenemos lo siguiente:
A\left(x + 1 \right)^{2} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3} + B\left(x + 1 \right) \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}+ C\left(x^2 - x + 1 \right)^{3} +
(Dx + E)\left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{2} + (Fx + G)\left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right) + (Hx + I)\left(x + 1 \right)^{3}
Para ahorrar un poco de pasos de puro álgebra, yo escribiré de una vez las multiplicaciones de los paréntesis:
A(1-x+x^{2} + 2x^{3} - 2x^{4} + 2x^{5} + z^{6} - x^{7} + x^{8}) +
B(1 - 2x + 3x^{2} - x^{3} - x^{4} + 3x^{5} - 2x^{6} + x^{7}) +
C(1 - 3x + 6x^{2} - 7x^{3} + 6x^{4} - 3x^{5} + x^{6}) + E + Dx + Ex +
Dx^{2} + 2Ex^{3} + 2Dx^{4} + 2Ex^{4} + 2Dx^{5} + Ex^{5} + Ex^{6} + Dx^{7} + Ex^{7} + Dx^{8}+
G + Fx + 2Gx + 2Fx^{2} + Gx^{2} + Fx^{3} + Gx^{3} + Fx^{4} + 2Gx^{4} + 2Fx^{5} +
Gx^{5} + Fx^{6}+I + Hx + 3Ix + 3Hx^{2} + 3Ix^{2} + Ix^{3} + Hx^{4}
Ahora vamos a agrupar términos con respecto al nivel de grado del exponente:
(A + D)x^{8} + (-A + B + E + D)x^{7} + (A - 2B + C + E + F) x^{6} +
(2A + 3B - 3C + 2D + 2F + G)x^{5} +
(-2A - B + 6C + 2D + 2E + F + 2G + H)x^{4} +
(2A - B - 7C + 2E + F + G + 3H)x^{3} + (A + 3B - 6C + D + 2F + G + 3H)x^{2}+
(-A - 2B - 3C + D + E + F + 2G + H + 3I)x +A + B + C + E + G + I
Seguidamente hay que igualar todos los términos de x^{8}, x^{7}, x^{6}, x^{4}, x^{3}, x y términos independientes del segundo miembro con respecto a los x^{7}, x^{6}, x^{4}, x^{3}, x y término independiente del primer miembro, así es como obtendremos nuestras ecuaciones:
\begin{array}{r c l}
0 & = & (A + D)x^{8} \\
0 & = & (-A + B + E + D)x^{7} \\
0 & = & (A - 2B + C + E + F)x^{6} \\
2x^{5} & = & (2A + 3B - 3C + 2D + 2F + G)x^{5} \\
0 & = & (-2A - B + 6C + 2D + 2E + F + 2G + H)x^{4} \\
4x^{3} & = & (2A - B - 7C + 2E + F + G + 3H + I)x^{3} \\
-3x^{2} & = & (A + 3B + 6C + D + 2F + G + 3H + 3I)x^{2} \\
3x & = & (-A - 2B - 3C + D + E + F + 2G + H + 3I)x \\
-1 & = & A + B + C + E + G + I
\end{array}Eliminamos las equis:
\begin{array}{r c l}
0 & = & A + D \\
0 & = & -A + B + E + D\\
0 & = & A - 2B + C + E + F \\
2 & = & 2A + 3B - 3C + 2D + 2F + G \\
0 & = & -2A - B + 6C + 2D + 2E + F + 2G + H\\
4 & = & 2A - B - 7C + 2E + F + G + 3H + I\\
-3 & = & A + 3B + 6C + D + 2F + G + 3H + 3I\\
3 & = & -A - 2B - 3C + D + E + F + 2G + H + 3I \\
-1 & = & A + B + C + E + G + I
\end{array}Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos los siguientes valores:
A = \cfrac{-7}{27} \quad B = \cfrac{-8}{27} \quad C = \cfrac{-13}{27} \quad D = \cfrac{7}{27} \quad E = \cfrac{-2}{9} \quad F = \cfrac{10}{27}
G = \cfrac{19}{27} \quad H = \cfrac{2}{9} \quad I = \cfrac{-4}{9}
Ahora procedemos a sustituir los valores hallados en nuestras ecuaciones de al principio:
\cfrac{2x^{5} + 4x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1}{\left(x + 1 \right)^{3} \left(x^2 - x + 1 \right)^{3}} =
\cfrac{\frac{-7}{27}}{x+1} + \cfrac{\frac{-8}{27}}{(x+1)^{2}}+ \cfrac{\frac{-13}{27}}{(x+1)^{3}} +
\cfrac{\frac{7}{27}x + \frac{-2}{9}}{x^{2}-x+1} + \cfrac{\frac{10}{27}x + \frac{19}{27}}{\left((x^{2}-x+1\right)^{2}} + \cfrac{\frac{2}{9}x + \frac{-4}{9}}{\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}
Simplificamos:
\cfrac{-7}{27(x+1)} + \cfrac{-8}{27(x+1)^{2}}+ \cfrac{-13}{27(x+1)^{3}} +
\cfrac{\frac{7}{27}x + \frac{-6}{27}}{x^{2}-x+1} + \cfrac{10x +19}{27\left(x^{2}-x+1\right)^{2}} + \cfrac{2x - 4}{9\left(x^{2}-x+1\right)^{3}}
Simplificamos un poco más para así finalmente obtener nuestras fracciones parciales:
\cfrac{2x^{5} + 4x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1}{(x^{3} + 1)^{3}}=
\cfrac{-7}{27(x+1)} + \cfrac{-8}{27(x+1)^{2}}+ \cfrac{-13}{27(x+1)^{3}} +
\cfrac{\frac{7}{27}x + \frac{-6}{27}}{x^{2}-x+1} + \cfrac{10x +19}{27\left(x^{2}-x+1\right)^{2}} + \cfrac{2(x - 2)}{9\left(x^{2}-x+1\right)^{3}}
¡Esperamos te hayan servido los ejemplos de fracciones parciales, ahora ya sabes cómo resolver todos los tipos de fracciones parciales, ve al mundo a por esas fracciones tan extensas! Aquí te dejo un enlace para que ahora pases a la integración por fracciones parciales.
Gracias por estar en este momento con nosotros : )
