Para empezar con este post, vamos primero a explicar con sencillas palabras qué son números reales y luego veremos cuáles son los números reales.
Qué son los números reales
La definición de números reales es la siguiente:
Es cualquier número que se encuentra en la recta numérica, comprendido entre menos infinito, cero y más infinito.
Mostraremos primero el resumen del conjunto de los números reales con una simple imagen y después explicaremos cada componente del conjunto de números reales.
Números Reales (R)
Todos los números racionales e irracionales corresponden a un número real. De los cuales, los números racionales se componen de números enteros, números naturales, números negativos y el cero.
Los números reales son todos aquellos que pueden representarse dentro de una recta numérica, sin importar que el número sea negativo, positivo, decimal racional o irracional, entero o el cero.
Números reales símbolo
El símbolo de los números reales es \mathbb{R}.
Propiedades de Números Reales
Comencemos mostrando cuáles son todas las propiedades de los números reales o las características de los números reales:
\begin{array}{c c} \hline \hline \begin{array}{c} \text{Propiedad} \\ \text{Conmutativa} \end{array} & \begin{array}{c} a + b = b + a \qquad \qquad \quad a\times b = b \times a \\ \begin{array}{c} \text{Se obtiene el mismo resultado sin importar el orden }\\ \text{en el cual dos números son sumados o multiplicados.} \end{array} \end{array} \\ \hline \hline \begin{array}{c} \text{Propiedad} \\ \text{Asociativa} \end{array} & \begin{array}{c} \left(a + b \right) + c = a + \left(b + c \right) \qquad \left( a\times b\right)\times c = a\times \left( b \times c\right) \\ \begin{array}{c} \text{Si tres números se suman o se multiplican a la vez,} \\ \text{se obtiene el mismo resultado sin importar cual} \\ \text{de ellos se sume o multiplique en primer término.} \end{array} \end{array} \\ \hline \hline
\begin{array}{c} \text{Propiedad} \\ \text{Distributiva} \end{array} & \begin{array}{c} a\times\left( b + c \right) = a \times b + a \times c \\ \left( b + c \right) \times a = b \times a + c \times a \\ \begin{array}{c} \text{Simplificación de expresiones, forman la base} \\ \text{para los métodos de factorización.} \end{array} \end{array} \\ \hline \hline \begin{array}{c} \text{Propiedad de} \\ \text{Identidad} \end{array} & \begin{array}{c} a + 0 = a \qquad a \times 1 = a \\ \begin{array}{c} \text{Si a } 0 \text{ se le suma } a \text{, seguirá siendo } a \text{, y si se } \\ \text{multiplica por } 1 \text{, será también el resultado } a \text{.} \end{array} \end{array} \\ \hline \hline \begin{array}{c} \text{Propiedad del} \\ \text{Inverso} \end{array} & \begin{array}{c} a + (-a) = 0 \qquad a\times a^{-1} = 1 \\ \begin{array}{c} \text{Si } a \text{ es un número real, existe un único número } \\ \text{real denominado el negativo} = -a \\ \text{Si } a \text{ no es cero, existe un único número} \\ \text{real denominado el recíproco de } =a^{-1} \end{array} \end{array} \\ \hline \hline \end{array}Cada propiedad de los números reales es importante entenderla muy bien ya que con eso sabremos cómo funcionan las operaciones algebraicas de los números y para conocer sus resultados.
Números reales ejemplos
Y los ejemplos de números reales son todos los que se ven a continuación ya que todos los siguientes son parte de los números reales.
Números Irracionales (I)
Los números irracionales son todos aquellos números que no pueden escribirse completos en forma decimal debido a que sus expresiones decimales continúan indefinidamente sin presentar algún patrón repetitivo. Podemos agregarle todos los decimales que podamos a estos números, pero nunca presentarán un patrón repetitivo en comparación con los números racionales.
Números irracionales símbolo
El símbolo de los números irracionales es \mathbb{I}.
Ejemplos de números irracionales
Estoy seguro que alguna vez has visto el número \pi, déjame decirte que es un número irracional y de igual forma hay muchos más ejemplos como los siguientes:
\sqrt{2} = 1.414213562...
\sqrt{3} = 1.732050808...
Números Racionales (Q)
Definición de números racionales:
Los números racionales son todos aquellos donde sus decimales terminan o presentan un patrón que se repite indefinidamente. Estos números racionales incluyen a las fracciones \left( \frac{x}{y} \right) donde el numerador (x) y el denominador (y) son enteros y el denominador es diferente de cero.
Podemos efectuar las operaciones básicas como sumar, restar, multiplicar o dividir entre dos números racionales y siempre obtendremos otro número racional. En el diagrama de los números reales se puede apreciar todo el conjunto de números racionales.
Números racionales símbolo
El símbolo de los números racionales es \mathbb{Q}.
Números racionales ejemplos
En estos ejemplos de números racionales pueden ser cualquier fracción siempre y cuando el denominador sea diferente de cero:
\cfrac{1}{4} = 0.25
\cfrac{2}{3} = 0.666 \dots
El número \frac{2}{3} es un número racional simplemente porque presenta un patrón repetitivo en sus decimales.
Números Enteros (Z)
Los números enteros son todos aquellos números naturales positivos, los negativos de cada número natural y el cero. Podemos sumar, restar y multiplicar y la división se puede realizar siempre y cuando el resultado no dé un número con decimales o sea irracional. Pero lo que sí podemos decir es que todos los enteros son racionales pero no todos los números racionales son enteros.
Números enteros símbolo
El símbolo de los números enteros es \mathbb{Z}.
Ejemplos de números enteros
Simplemente son los números con los que normalmente contamos más los negativos de los números enteros:
\dots , -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots
Números Naturales (N)
Los números naturales son todos aquellos que se representan dentro de la recta numérica después del cero. Podemos realizar todas las operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división siempre y cuando el resultado dé otro número natural.
Números naturales símbolo
El símbolo de los números naturales es \mathbb{N}.
Números naturales ejemplos
Nuestros ejemplos de números naturales simplemente son todos aquellos números enteros positivos, sin incluir al cero:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \dots
4\times 3 = 12
5/5 = 1
Exponentes
Primero definiremos qué es un exponente: Un exponente (n) es un número utilizado para indicar el número de veces que un factor se multiplica por sí mismo, así como existen los subíndices, el exponente es un superíndice.
Ejemplo de exponente
Si n es un número entero positivo, a^{n} significa que a va a ser multiplicado por sí misma n veces.
a^{n} = a \times a \times a \dots
2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16
11^{2} = 11 \times 11 = 121
Radicales
Definamos qué es un radical: un radical es una expresión que se utiliza cuando un número no se puede simplificar eliminando alguna raíz a la n o algún exponente fraccionario. Así que podemos dejar expresado un radical en forma de raíz a la n o de exponente:
\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}
\sqrt[n]{b^{m}} = b^{\frac{m}{n}}
Ejemplos de radicales
\sqrt[5]{4} = 4^{\frac{1}{5}}
\sqrt[6]{8^{3}} = 8^{\frac{3}{6}}
Operaciones con exponentes enteros
Vamos a ver 5 casos que se presentan en las operaciones con exponentes enteros.
Caso 1
Cuando dos exponentes de una base común se multiplican, el resultado es igual a la base (b) elevada a la suma de los dos exponentes.
b^{n} \times b^{m} = b^{n + m}
Caso 2
Una base a con un exponente m que se divide entre la misma base a pero con exponente diferente n, es igual a la misma base elevada a la resta del exponente de la base del numerador menos el exponente de la base del denominador.
\cfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}
Caso 3
Un exponente n elevado a otro exponente m es igual a la base elevada al producto de los dos exponentes.
\left( a^{n}\right)^{m} = a^{n\times m}
Caso 4
El producto de dos números elevados a una potencia n es igual al producto de cada número elevado a dicha potencia.
\left( a\times b\right)^{n} = a^{n} \times b^{n}
Caso 5
El cociente de dos números elevados a una potencia n es igual al cociente de cada número elevado a dicha potencia.
\left( \cfrac{a}{b} \right)^{n} = \cfrac{a^{n}}{b^{n}}
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