El enunciado del problema de optimización resuelto es el siguiente:
Un fruticultor calcula que si siembre 90 árboles por hectárea, cada árbol dará 500 manzanas al año aproximadamente. Si el rendimiento promedio por árbol se reduce en 5 manzanas por cada árbol adicional que se plante por hectárea, determina el número de árboles adicionales que se deben de plantar para que la producción sea lo máximo posible.
Algo simple y lógico es que al principio cada árbol produce 500 manzanas, eso quiere decir que con los 90 árboles se producen 45000 manzanas, así que tendremos la siguiente multiplicación:
\begin{array}{c c c c}
(90) & (500) & = & 45000 \ \text{manzanas}
\end{array}Lo que sabemos es que por cada árbol de más, todos los árboles producirán 5 manzanas menos y el total de manzanas se vería afectado, observa:
\begin{array}{c c c c}
(90) & (500) & = & 45000 \ \text{manzanas}\\
(91) & (495) & = & 45045 \ \text{manzanas} \\
(92) & (490) & = & 45080 \ \text{manzanas}
\end{array}La ecuación a trabajar para optimizar el campo
Fácilmente podemos ver la ecuación que se tiene que utilizar para obtener una ecuación con la que trabajaremos para optimizar la producción de manzanas:
\begin{array}{c c c c}
(90) & (500) & = & 45000 \ \text{manzanas}\\
(91) & (495) & = & 45045 \ \text{manzanas} \\
(92) & (490) & = & 45080 \ \text{manzanas} \\\\\\
(90 + x) & (500 - 5x) & = & \text{Producción (P)}
\end{array}Ya vimos nuestra función de producción y es:
(90 + x)(500 - 5x) = P(x)
Vamos a multiplicar los binomios para obtener nuestra ecuación cuadrática:
45000-450x + 500 x - 5x^{2} = P(x)
Ordenemos términos y sumemos:
P(x) = -5x^{2} + 50 x + 45000
Como lo que se quiere hallar es un valor máximo de x para saber cuál será la producción (P(x)) máxima, se tendrá que derivar la función P(x) dos veces simplemente para saber si tiene un máximo, utilizando el criterio de la segunda derivada (aunque observando la ecuación cuadrática obtenida, se puede ver fácilmente que es una parábola y que tiene un máximo):
P'(x) = -10x + 50
P''(x) = -10
Como lo que obtuvimos fue un número menor que cero, el criterio de la segunda derivada nos dice que si es un número menor que cero, entonces la función sí tiene máximo. Ahora tomemos la función obtenida en la primera derivada e igualemos a cero:
-10x + 50 = 0
50 = 10 x
x = 5
El resultado es 5, lo que quiere decir que el fruticultor sólo puede plantar 5 árboles más de manzanas para obtener una producción mayor por hectárea.
Antes de que te vayas
¿Que pasaría si plantamos 90 árboles más? ¿Será que en la vida real sea posible que los árboles de manzanas produzcan cero manzanas si les ponemos más árboles por hectárea? A veces este tipo de ejercicios resultan graciosos 🍎🍏🍎🍏🍎🍏🍎🍏
Recuerda que tenemos más ejercicios de optimización resueltos que puedes encontrar en el menú.
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