La fórmula de integral de cot es:
\displaystyle \int \cot u \cdot du = \ln |\sin u|+ \text{C}
Veamos unos ejemplos para integrales de cotangente
Ejemplo 1. Integral de cot 2x
\displaystyle \int \cot(2x) \ dx=
Sustituimos el 2x por u, derivamos y pasamos dividiendo el 2:
u = 2x \quad \Rightarrow \quad du = 2 \ dx \quad \Rightarrow \quad \cfrac{du}{2} = dx
Y reemplazamos los términos por u:
\displaystyle \int \cot(u) \cfrac{du}{2}
Por propiedades de integrales sacamos el \frac{1}{2} de la integral:
\displaystyle \cfrac{1}{2}\int\cot(u) \ du
Ahora aplicamos directamente la fórmula de la integral de cotangente:
\displaystyle \cfrac{1}{2}\int \cot (u) \ du = \left (\cfrac{1}{2}\right)(\ln \sin(u))
Y por último sustituimos de vuelta la u por 2x y la respuesta será:
\cfrac{1}{2} \ln \left| \sin(2x)\right|
Ejemplo 2. Integral de cotangente cuadrada
\displaystyle \int \cot^{2}(x) \ dx
La manera más rápida de hacer esta integral es revisar formulazo en el formulario de integrales y listo. Otra manera es desmenuzar un poco la integral y revisar de todas maneras el formulario de integrales en algún punto, comencemos:
Para comenzar con la resolución de esta integral, lo primero que tenemos que hacer es aplicar la identidad trigonométrica siguiente:
\cot^{2}x + 1 = \csc^{2}x
Ahora lo que se tiene que hacer es despejar \cot^{2}x:
\cot^{2}x = \csc^{2}x - 1
Sustituyendo \cot^{2}x en la integral, obtendremos la integral de una resta:
\displaystyle \int\left ( \csc^{2}x - 1 \right) \ dx
Separemos la integral a una suma de integrales:
\displaystyle \int \csc^{2}x \ dx + \int - 1 \ dx
Aplicando propiedades de las integrales sacaremos el -1 de la integral:
\displaystyle \int \csc^{2}x \ dx - 1 \int \ dx
Para resolver la primera integral, revisaremos el formulario de integrales que nos muestra un formulazo de integral de \csc^{2}x, por lo tanto, la primera integral quedaría de la siguiente manera:
\displaystyle \int\csc^{2}x \ dx- \int \ dx = -\cot x - \int \ dx
Resolviendo la segunda integral, la respuesta será la siguiente:
-\cot x - x
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