La fórmula de integral de csc es:
\displaystyle \int \csc u \cdot du = -\log\left( \cot u + \csc u\right)
Veamos unos ejemplos para integrales de cosecante:
Ejemplo 1. Integral de csc x
\displaystyle \int \csc x \ dx
La integral de cosecante se puede deducir si sabes algunas fórmulas de derivación, en seguida vamos a ver la manera de cómo llegar al resultado de -\log\left( \cot u + \csc u\right) con las fórmulas de las derivadas. ¡Empecemos!
Para empezar con esta integral, hay un truco muy poderoso que nos permite resolverla, vamos a multiplicar el \csc x por una fracción que contiene \csc x + \cot x en el denominador y en el numerador.
\displaystyle \int \csc x \cfrac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x} dx
Efectuaremos la multiplicación y el resultado obtenido será el siguiente:
\displaystyle \int \cfrac{\csc^{2}x + \csc x \cot x}{\csc x + \cot x} dx
Seguidamente nombraremos u a \csc x + \cot x y derivaremos. Recordemos las fórmulas de derivación que dicen que la derivada de \csc x es igual a -\csc x \cot x y la derivada de \cot x es igual a -\csc^{2} x:
u = \csc x + \cot x
du = \left(-\csc x \cot x - \csc^{2} x\right) dx
Factorizando el signo negativo, quedaría de la siguiente manera:
du = - \left( \csc x \cot x + \csc^{2} x \right) dx
Una vez que ya tengamos u y la du, los sustituiremos en la integral quedando de la siguiente manera:
\displaystyle \int -\cfrac{1}{u} \ du
Aplicando propiedades de las integrales, sacamos el negativo de la integral:
\displaystyle -\int\cfrac{1}{u} \ du
Y ahora aplicando directamente una fórmula de integración, obtendremos el siguiente resultado de nuestra integral:
\displaystyle -\int \cfrac{1}{u} \ du = -\log (u)
Finalmente sustituimos el u para obtener nuestro resultado final:
-\log\left(\csc x + \cot x\right)
Ejemplo 2. Integral de cosecante de 2x
\displaystyle \int \csc (2x) dx
El proceso de resolución es muy parecido al del ejemplo anterior, vamos a empezar.
Comencemos reemplazando 2x por v, luego derivamos y despejamos:
v = 2x
dv = 2 \ dx
\cfrac{dv}{2} = dx
Sustituimos en la integral 2x por v y dx por \frac{dv}{2}:
\displaystyle \int \csc v \cfrac{dv}{2}
Aplicando propiedades de las integrales sacaremos el denominador 2 de la integral:
\displaystyle \cfrac{1}{2} \int \csc v \ dv
A partir de aquí podemos olvidarnos del \frac{1}{2} (obvio no nos vamos a olvidar del \frac{1}{2}) y hacer la integración directamente con formulazo o aplicar todo el procedimiento ya explicado en el ejemplo anterior.
Vamos a multiplicar el \csc v por una fracción que contiene \csc v + \cot v en el numerador y en el denominador.
\displaystyle \cfrac{1}{2}\int \csc v \cfrac{\csc v + \cot v}{\csc v + \cot v} dv
Efectuaremos la multiplicación y el resultado obtenido será el siguiente:
\displaystyle \cfrac{1}{2} \int \cfrac{\csc^{2}v + \csc v \cot v}{\csc v + \cot v} dv
Seguidamente nombraremos u a \csc v + \cot v y derivaremos. Recordemos las fórmulas de derivación que dicen que la derivada de \csc x es igual a -\csc x \cot x y la derivada de \cot x es igual a -\csc^{2} x:
u = \csc v + \cot v
du = \left(-\csc v \cot v - \csc^{2} v\right) dv
Factorizaremos el negativo:
du = - \left( \csc v \cot v + \csc^{2} v \right) dv
Una vez que ya tengamos u y la du, los sustituiremos en la integral quedando de la siguiente manera:
\displaystyle \cfrac{1}{2} \int -\cfrac{1}{u} \ du
Aplicando propiedades de las integrales sacaremos el negativo de la integral:
\displaystyle -\cfrac{1}{2} \int \cfrac{1}{u} \ du
Y ahora aplicando directamente una fórmula de integración, obtendremos el siguiente resultado de nuestra integral:
\displaystyle -\cfrac{1}{2} \int \cfrac{1}{u} \ du = -\log (u)
Sustituimos el u para obtener:
-\cfrac{1}{2} \log\left(\csc v + \cot v \right)
Y finalmente sustituimos v por 2x para obtener nuestro resultado final:
-\cfrac{1}{2} \log \left(\csc 2x + \cot 2x\right)
Ejemplo 3. Integral de cosecante cuadrado
\displaystyle \int \csc^{2}x \ dx
Tal vez a algunos les cause un poco de conflicto la resolución de esta integral, pero sabemos muy bien que las integrales y las derivadas están unidas por un lazo de amistad muy fuerte, lo que quiere decir que si alguien deriva algo y el resultado de ese algo se integra, el resultado va a ser ese algo con el que se empezó. Si alguien deriva x, obtendrá 1, si integra 1, obtendrá x.
La derivada de \cot x es igual a -\csc^{2}x \ dx, eso quiere decir que la integral de \csc^{2}x \ dx es -\cot x, así que nuestro resultado final de integral de \csc^{2}x \ dx será:
-\cot x
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