Las progresiones que veremos a continuación son sucesiones de números de un conjunto ordenado de números formados de acuerdo con una ley dada.
El único requerimiento para que un conjunto de números sea una sucesión es que exista una fórmula o ley con la cual sea posible obtener cualquier número de dicha sucesión.
Veamos rápidamente un ejemplo. Si tenemos que u_{n} representa el enésimo término de una sucesión, entonces debe existir una expresión para u_{n} en términos de n, esto quiere decir que dicho término enésimo debe ser una función de n. Tomando como sucesión lo siguiente:
3, \ 5, \ 7, \ \dots \ , 2n +1.
u_{n} es una fórmula que nos permite obtener cualquier término de la sucesión.
u_{n}= 2n+1
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números tal que cada uno de los términos siguientes al primero se obtienen añadiendo al número anterior un número fijo al cual se le llama la diferencia de la progresión.
El ejemplo donde nuestro primer término es a_{1}, nuestro segundo término es a_{1} + d, el tercer término es a_{1}+2d, etc… el cual puede ser representado como que el enésimo término es:
a_{n} = a_{1} +(n-1)d
Gracias al álgebra y a todos los estudios que existen de las progresiones aritméticas, tenemos el siguiente teorema que dice:
Teorema de la progresión aritmética
Si en una progresión aritmética a_{1} es el primer término, a_{n} es el enésimo término, d es la diferencia y s_{n} es la suma de los n primeros términos, entonces tenemos las dos relaciones independientes siguientes:
a_{n} = a_{1} + \left(n - 1 \right)d
s_{n} = \cfrac{n}{2} \left(a_{1} + a_{n} \right)
En términos más simples, la expresión a_{n} nos ayudará a calcular el valor en una posición y la expresión s_{n} nos ayudará a calcular la suma de los números consecutivos desde el primer valor hasta el enésimo término que hayamos querido calcular.
Ahora, jugando con estas dos relaciones, podemos obtener otra fórmula que lo único que hace es sustituir a la a_{n} de la fórmula de s_{n} por toda la igualdad de la primera relación:
s_{n} = \cfrac{n}{2} \left( a_{1} + \left[ a_{1} + \left(n - 1 \right)d \right]\right)
Simplificamos para obtener nuestra segunda fórmula para s_{n}:
s_{n} = \cfrac{n}{2} \left[2a_{1} + \left(n - 1 \right)d \right]
Ejemplo 1 de progresión aritmética
En la progresión aritmética 4, 6, 8, 10, 12, \dots, calcular el término del lugar 14 y calcular la suma de los primeros 14 términos.
Utilizando las dos relaciones que tenemos del teorema de la progresión aritmética, tenemos que a_{1} = 4, los saltos en los que va creciendo es de dos en dos (d=2) y queremos el lugar 14 (n=14):
a_{14} = a_{1} + (n-1)d = 4 + \left(14-1\right)\cdot 2 = 4 + 13\cdot 2 = 30
s_{14}=\cfrac{n}{2}\left(a_{1} + a_{n}\right) = \cfrac{14}{2} \left(4 + 30 \right) = 238
Así que nuestro término 14 es a_{14}=30 y la suma de los primeros 14 términos es s_{14}=238.
Ejemplo 2 de progresión aritmética
En una progresión aritmética donde a_{1}=2 y d=4, ¿cuántos términos deben tomarse para que la suma sea 512?
Como sabemos que la suma de los términos nos debe de dar 512, tomaremos la fórmula obtenida de la unión de las primeras dos fórmulas de nuestro teorema de la progresión aritmética.
s_{n} = \cfrac{n}{2} \left[2a_{1} + \left(n - 1 \right)d \right]
Tenemos que a_{1}=2, d=4 y s_{n}=512:
512 = \cfrac{n}{2}\left[ 2\cdot 2 + \left( n - 1 \right) 4 \right]
512 = \cfrac{n}{2} \left[4 + 4n - 4\right]
512 = \cfrac{4n}{2} + \frac{4n^{2}}{2} - \cfrac{4n}{2} = 2n + 2n^{2} - 2n
512 = 2n^{2}
En este ejemplo nos quedó fácil hallar el resultado, ya que nada más es pasar dividiendo el 2 y luego aplicar raíz cuadrada:
\cfrac{512}{2} = n^{2}
256 = n^{2}
Y entonces tenemos nuestros dos resultados
16, \quad -16
Y como n debe ser un número entero y positivo, nuestro término buscado es 16.
Ejemplo 3 de progresión aritmética
Interpolar siete medios aritméticos entre 10 y -14.
Como tenemos que hallar siete medios aritméticos, quiere decir que nuestra progresión va a ser de 9 términos, debido a que son los siete medios aritméticos y nuestros extremos que son 10 y el -14. Así que tenemos que a_{1} = 10 y a_{9} = -14. Como tenemos nuestra primera relación del teorema de la progresión aritmética:
a_{n} = a_{1} + \left(n-1\right)d
Sustituimos a_{1} y a_{n} como nuestro último término a_{9}=-14:
-14 = 10 + \left(9 - 1 \right)d \quad \rightarrow \quad -24 = 8d
Pasamos dividiendo el 8 para que tengamos nuestra diferencia:
d = -3
Y como ya tenemos la diferencia, simplemente tomamos nuestro primer término y lo vamos a ir restando para obtener nuestros siete medios aritméticos que son los siguientes:
10, \ 7, \ 4, \ 1, \ -2, \ -5, \ -8, \ -11, \ -14
Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión de números tal que cualquier término siguiente al primero se obtiene multiplicando el término anterior por un término no nulo al que le llamaremos razón de la progresión.
Un ejemplo sería el siguiente:
1, \ 2, \ 4, \ 8, \ \dots
Donde a_{1} es el primer término y r es la razón. Por lo tanto, tenemos que a_{n} representa al enésimo término, el cual tendríamos nuestra siguiente fórmula:
a_{n} = a_{1}r^{n-1}
Ya que tenemos la expresión para hallar el término en una determinada posición, te voy a escribir la fórmula para la suma de los términos:
s_{n} = \cfrac{a_{1}\left(1 - r^{n} \right)}{1-r}, \qquad r \ne 1
Teorema de la progresión geométrica
Si en una progresión geométrica a_{1} es el primer término, a_{n} es el enésimo término, r es la razón y s_{n} es la suma de los n primeros términos, entonces tenemos las dos relaciones independientes antes mencionadas:
a_{n} = a_{1}r^{n-1}
s_{n} = \cfrac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}, \qquad r=\ne 1
La primera igualdad lo que haremos será multiplicarla por r para obtener lo siguiente:
ra_{n} = a_{1}r^{n-1}r = a_{1}r^{n-1+1} = a_{1}r^{n}
ra_{n} = a_{1}r^{n}
Así que lo único que hacemos es sustituir a_{1}r^{n} de nuestra segunda igualdad de nuestro teorema:
s_{n} = \cfrac{a_{1} - a_{1}r^{n}}{1-r} = \cfrac{a_{1} - ra_{n}}{1-r}, \qquad r\ne 1
Ejemplo 1 de progresión geométrica
En nuestro primer sencillo ejemplo simplemente sustituiremos en las fórmulas. Tenemos nuestra progresión geométrica 1, \ 2, \ 4, \ 8, \ \dots , en la cual queremos hallar el noveno término y la suma de los nueve primeros términos:
Tenemos que a_{1} = 1, r=2, n=9, por lo tanto, aplicaremos directamente las fórmulas:
a_{n} = a_{1}r^{n-1}
a_{9} = 1\dot 2^{8} = 256
a_{9} = 256
Y ahora calcularemos la suma de los primeros nueve términos:
s_{n} = \cfrac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}
s_{9} = \cfrac{1\left(1-2^{9}\right)}{1-2} = \cfrac{1\left(1-512\right)}{-1}=\cfrac{1\left(-511\right)}{-1} = \cfrac{-511}{-1}
s_{9} = 511
Ejemplo 2 de progresión geométrica
Nuestro primer término es 4, el último término es \frac{15625}{16} y la suma de los términos es \frac{25999}{16}. Halla la razón y el número de términos.
Tenemos que a_{1} = 4, a_{n} = \frac{15625}{16} y s_{n} = \frac{25999}{16}, entonces lo que queremos calcular es r y n. Para este ejercicio de progresiones utilizaremos una de nuestras fórmulas que se mencionan en el teorema:
s_{n} = \cfrac{a_{1} - ra_{n}}{1-r}
Sustituimos todos los datos que tenemos para hallar r:
\cfrac{25999}{16} = \cfrac{4 - \left( \frac{15625}{16}\right)r}{1 - r}
Y ahora que ya tenemos nuestra expresión, lo único que tenemos que hacer es resolverla para llegar al resultado de r:
\cfrac{25999}{16} - \cfrac{25999}{16}r=4 - \cfrac{15625}{16}r
\cfrac{25999}{16} - 4 = \cfrac{25999}{16}r - \cfrac{15625}{16}r
\cfrac{25935}{16} = \cfrac{5187}{8}r
\cfrac{8}{5187}\cdot \cfrac{25935}{16} = r
r = \cfrac{5}{2}
Y ahora para hallar el valor de n, utilizaremos la fórmula a_{n} = a_{1}r^{n-1}, debido a que ya tenemos r, sólo necesitaremos resolver la ecuación para hallar n:
\cfrac{15625}{16} = 4\left(\cfrac{5}{2}\right)^{n-1}
\cfrac{1}{4}\cdot \cfrac{1562C5}{16} = \left(\cfrac{5}{2}\right)^{n-1}
\cfrac{15625}{64} = \left(\cfrac{5}{2}\right)^{n-1}
En esta parte viene un truco algebraico, lo que haremos es buscar un número que elevado a la potencia nos deje la parte izquierda de la ecuación con la misma base que la parte derecha de la ecuación, a lo que me refiero es que buscaremos un número (si es que podemos hacerlo al tanteo), que elevando \frac{5}{2} a la x potencia, nos pueda dar \frac{15625}{64}. Nosotros ya nos tomamos la molestia de buscarlo y es 6:
\left(\cfrac{5}{2}\right)^{6} = \left(\cfrac{5}{2} \right)^{n-1}
Y ya que tenemos que en nuestra igualdad tenemos \frac{5}{2} de los dos lados, ya podemos igualar nuestros exponentes:
6 = n-1
n=7
Dándonos como resultado que r = \cfrac{5}{2} y n=7 .
Ejemplo 3 de progresión geométrica
Interpolar siete medios geométricos entre \frac{1}{18} y \frac{6561}{18}.
Lo que debemos hacer es encontrar siete números que conformen una progresión geométrica, esos números empiezan con el primer número \frac{1}{18} y finalizan con el número \frac{6561}{18}. Lo que quiere decir que nuestra progresión geométrica es de nueve términos.
Así que tenemos que a_{1}=\frac{1}{18} y a_{n} = a_{9} =\frac{6561}{18}. Utilizaremos la siguiente ecuación y hallaremos el valor de la razón:
a_{n} = a_{1}r^{n-1}
Sustituimos valores y resolvemos:
\cfrac{6561}{18} = \cfrac{1}{18}r^{9-1}
\cfrac{6561}{\cancel{18}} \cdot \cfrac{\cancel{18}}{1} = r^{8}
6561= r^{8}
r = 3
Y ahora que ya tenemos la razón, simplemente aplicamos en la fórmula para ir determinando cada uno de los valores:
| n | Ecuación |
| n | a_{n}=a_{1}r^{n-1} |
| 1 | a_{1} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{0} = \frac{1}{18} |
| 2 | a_{2} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{1} = \frac{3}{18} |
| 3 | a_{3} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{2} = \frac{9}{18} |
| 4 | a_{4} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{3} = \frac{27}{18} |
| 5 | a_{5} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{4} = \frac{81}{18} |
| 6 | a_{6} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{5} = \frac{243}{18} |
| 7 | a_{7} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{6} = \frac{729}{18} |
| 8 | a_{8} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{7} = \frac{2187}{18} |
| 9 | a_{9} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{8} = \frac{6561}{18} |
Así que tenemos que como respuesta tenemos que la razón es r=3 y nuestros siete valore son: \frac{3}{18}, \frac{9}{18}, \frac{27}{18}, \frac{81}{18}, \frac{243}{18}, \frac{729}{18} y \frac{2187}{18}.
Progresiones armónicas
La progresión armónica es una sucesión de números los cuales sus recíprocos forman una progresión aritmética.
Un ejemplo sencillo sería: \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \dots, \frac{1}{n}, \dots ya que 2, 4, 6, 8, \dots, 2n, \dots es una progresión aritmética. Recuerda que sólo son los recíprocos, así que el numerador siempre tiene que ser igual.
No veremos ejemplos de la progresión armónica ya que se resuelven igual que las progresiones aritméticas. Lo que sí veremos son varias fórmulas que servirán para todas las progresiones.
Si interpolamos un solo medio armónico entre dos números, obtendremos la media armónica. Lo que queremos decir es que a y b son números dados, entonces H es nuestra media armónica:
\cfrac{1}{a}, \quad \cfrac{1}{H}, \quad \cfrac{1}{b}
Así que con esto podemos obtener otro teorema que nos será de mucha utilidad
Teorema
Si A, G, y H son la media aritmética, la media geométrica y la media armónica, respectivamente, de dos números positivos diferentes a y b, se verifican las siguientes fórmulas:
A = \cfrac{a + b}{2}, \qquad G=\sqrt{ab}, \qquad H = \cfrac{2ab}{a+b}
Estando entonces relacionados de la siguiente forma:
G^{2} = AH \qquad A > G > H
Gracias por estar en este momento con nosotros : )
