Parejas ordenadas de números
Para empezar con este post de los sistemas de ejes coordenados o mayormente conocido como plano cartesiano, supongamos que tenemos 3 pokémon tipo eléctrico (Luxray, Raikou y Manectric) y 2 pokémon tipo fuego (Charizard y Cyndaqüil), y las condiciones del gimnasio donde pelearemos es que sólo podemos escoger 1 pareja para pelear pero sólo puede ser 1 pokémon de cada tipo. Así que tú, como maestro pokémon, decides darle un número a cada pokémon:
\begin{array}{l l l} \text{Eléctrico} & \quad & \text{Fuego} \\ \text{1. Luxray} & & \text{1. Charizard} \\ \text{2. Raikou} & & \text{2. Cyndaqüil} \\ \text{3. Manetric} & & \end{array}Y haces una lista para saber las combinaciones que puedes hacer para la batalla:
\begin{array}{c} 1, 1 \\ 1, 2\\ 2, 1 \\ 2, 2 \\ 3, 1 \\ 3, 2 \end{array}Te comento que el primer número de cada combinación pertenece a los pokémon tipo eléctrico y el segundo número pertenece a los pokémon de tipo fuego. Si nosotros volteamos el orden de cada combinación de números, supuestamente tendremos 2 pokémon de tipo eléctrico y 3 pokémon de tipo fuego, ¡pero nosotros sabemos que eso no es cierto! ¡Así que el orden de cada pareja de combinaciones sí es importante! Teniendo en cuenta lo anterior, podemos escribir lo siguiente:
\left ( a, b \right) \neq \left( b,a \right)
\left( a,b \right) = \left( b,a \right) \text{ si y sólo si } a = b
Puntos en el plano cartesiano
Una de las tantas aplicación de las parejas de puntos es la localización de dichos puntos en los ejes coordenados en un plano cartesiano. Estoy seguro que muchos conocemos el clásico juego de batalla naval y recordamos que para localizar a los barcos teníamos que decir una coordenada, y vaya satisfacción que nos llevábamos al encontrar al barco de nuestro a(ene)migo.
Imaginando un tablero infinito, podemos sólo utilizar números positivos y negativos, como utilizar un arreglo de dos rectas numéricas que se cruzan en el origen que es el punto (0, 0) donde se cruzan las dos rectas. Además tiene un nombre cada recta, la recta horizontal es la recta de la abscisa y la recta vertical es la recta de la ordenada y cada una tiene una letra, x es el eje de la abscisa y y es el eje de la ordenada, cada uno es un eje de coordenadas y los dos representan los ejes del plano cartesiano. Veamos el siguiente sistema de ejes coordenados.
Así podemos concluir que los puntos siempre se representan de la siguiente manera:
(\text{abscisa}, \text{ordenada})
Y como se visualizó en la imagen anterior, el sistema de ejes coordenados se compone de 4 regiones, enumeradas del uno al cuatro en el orden como se mostró en la figura 2. También podemos decir como comentario que los ejes coordenados de un plano cartesiano son perpendiculares
Lugares geométricos en un plano cartesiano
Para los temas de geometría analítica se pueden presentar los problemas de:
- Encontrar el lugar geométrico que representa una ecuación y
- Encontrar la ecuación que representa un lugar geométrico.
Así podemos decir que un lugar geométrico es una región del espacio delimitada por un conjunto de puntos que comparten una relación matemática en particular.
Para los lugares geométricos, veremos la manera de resolver problemas con la parte analítica y con la parte geométrica:
Ejemplo 1. Utilizando la ecuación y=-4x+4, representa la:
Parte analítica del lugar geométrico
A simple vista se puede comprender que es una ecuación de primer grado y por lo tanto es lineal, lo que quiere decir que representa a una recta. Para resolver la parte analítica realizaremos una tabulación utilizando dos puntos cualquiera ya que es una recta la ecuación dada.
\begin{array}{| c | c |} \hline \ x\ &\ y\ \\ \hline 0 & 4 \\ \hline 1 & 0 \\ \hline \end{array}Con eso ya tenemos la parte analítica de la ecuación y = -4x + 4
Parte geométrica del lugar geométrico
Para la parte geométrica lo que hacemos es trazar una línea recta que pase por los puntos que hallamos en la parte analítica.
Ejemplo 2. Utilizando la ecuación y = -x^{2}+4, representa la:
Parte analítica del lugar geométrico
Lo que podemos observar es que la ecuación es de segundo orden, por lo que representa a una parábola, así que para la parte analítica, tomaremos varios valores para el eje x y simplemente los sustituiremos en la ecuación de este ejemplo, observa los valores que toma si los tabulamos:
\begin{array}{| c | c |} \hline \ x\ &\ y\ \\ \hline -2 & 0 \\ \hline -1 & 3 \\ \hline 0 & 4 \\ \hline 1 & 3 \\ \hline 2 & 0 \\ \hline \end{array}Parte geométrica del lugar geométrico
Para la parte geométrica lo que realizamos es colocar cada uno de los puntos de la parte analítica y dibujar la unión de los puntos hasta obtener la siguiente elipse:
Segmentos rectilíneos
El segmento rectilíneo es una porción de línea comprendida entre dos puntos. Puedes tener una recta, tomas dos puntos y el segmento que queda entre esos dos puntos es tu segmento rectilíneo.
Como la línea tiene una distancia infinita, el segmento rectilíneo sí que tiene una distancia que se puede calcular (una distancia finita). Para calcular la distancia de un segmento rectilíneo, utilizamos la siguiente fórmula:
d = \sqrt{\left( x_{2} - x_{1} \right)^{2} +\left( y_{2} - y_{1} \right)^{2}}
Déjame comentarte que no importa si colocas primero los valores del primer punto o del segundo punto, el resultado va a ser el mismo, te lo explico mejor con la siguiente ecuación:
d = \sqrt{\left( x_{2} - x_{1} \right)^{2} +\left( y_{2} - y_{1} \right)^{2}} =\sqrt{\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} +\left( y_{1} - y_{2} \right)^{2}}
Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano
Veamos un ejemplo rápido de distancia entre dos puntos de segmentos rectilíneos:
Ejemplo. Calcula la distancia entre los puntos A(1, 1) y B(6, 3).
Dibujamos los puntos para tener una mejor visualización del ejercicio:
Utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos, simplemente sustituimos sus valores, recuerda que podemos tomar al punto A como (x_{1}, y_{1}) y a B como (x_{2}, y_{2}) o viceversa:
d= \sqrt{\left( x_{2} - x_{1} \right)^{2} +\left( y_{2} - y_{1} \right)^{2}} =
\sqrt{\left(1 - 6 \right)^{2} +\left(1 - 3 \right)^{2}} = \sqrt{\left(6-1 \right)^{2} +\left(3 - 1 \right)^{2}}
=\sqrt{29}
La distancia entre los puntos A y B es igual a \sqrt{29} que es aproximadamente 5.385 unidades.
Punto medio de un segmento en el plano cartesiano
Cuando deseamos calcular el punto medio de un segmento dado, podemos utilizar las siguientes fórmulas para calcular dicho punto entre los extremos del segmento:
x_{m} = \cfrac{x_{1} + x_{2}}{2} \quad y_{m} = \cfrac{y_{1} + y_{2}}{2}
Ejemplo. Calcular el punto medio del segmento comprendido por los puntos A(1, 3) y B(5, -1)
Figura 6. Representación geométrica de los puntos A y B
Para el cálculo del punto medio simplemente aplicaremos las fórmulas antes mencionadas:
x_{m} = \cfrac{1 + 5}{2} \quad y_{m} = \cfrac{3 + (-1)}{2}
x_{m} = 3 \quad y_{m} = 1
Concluimos que el punto medio comprendido entre los puntos A y B es (3, 1).
Rectas en el plano cartesiano
En esta sección tenemos que hablar de dos temas muy importantes de las rectas, que son el ángulo de inclinación y la pendiente de las rectas.
Lo que tenemos que saber es que existe un lazo de amistad indestructible entre la pendiente y el ángulo de inclinación, observa la figura 7, la pendiente es cualquier recta, semirrecta o segmento que está inclinada (ver línea azul punteada de la figura 7) y el ángulo de inclinación es la elevación que tiene dicho trazo:
Con la figura 7, podemos escribir la fórmula de la amistad entre la pendiente y el ángulo de inclinación:
m = \tan \beta \qquad \beta = \tan^{-1} m
Donde m significa pendiente.
Para estos ejercicios siempre utilizaremos grados, así que asegúrense que su calculadora esté en grados porque si no es así, sufrirán.
Para el cálculo de la pendiente existe una fórmula muy poderosa que te voy a dejar a continuación, puedes utilizarla siempre y cuando tengas dos puntos:
m = \cfrac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}
La pendiente de las rectas siempre es el valor que multiplica al término x:
y = mx + b
Donde b es una constante cualquiera.
Recordemos que para estos casos en particular, la pendiente y el ángulo de inclinación siempre los mediremos con respecto a la horizontal o línea paralela al eje de las abscisas.
A continuación colocaremos unos ejemplos muy sencillos sobre el cálculo de la pendiente y el ángulo de inclinación. Si quieres que pongamos más ejemplos, déjalo en los comentarios.
Ejemplo 1. Calcular la pendiente de la siguiente recta
Ya tenemos casi resuelto este ejercicio porque nos están dando el ángulo de inclinación de la recta, simplemente lo que hay que hacer es sustituir en la fórmula:
m = \tan 45°
Utilizando una calculadora y asegurándonos de que esté en grados, tendremos como resultado que la pendiente de la recta y=x es igual a 1.
Ejemplo 2. Calcular el ángulo de inclinación de la siguiente recta.
Este ejercicio necesita un poco más de pensar para poder resolverlo. Podemos hacer dos cosas:
- Tabular dos puntos para calcular la pendiente de la recta, o
- Si nos damos cuenta, observaremos que como nos dan la ecuación de la recta ya nos dan la misma pendiente que es 0.5.
Así que antes de ir a hacer tu cuadro de tabulación, lo mejor es analizar los datos que nos están dando y darnos cuenta de que ya nos ahorraron el trabajo del cálculo de la pendiente, así que simplemente sustituimos en la fórmula de la amistad indestructible de la pendiente y el ángulo de inclinación (utilizando siempre la calculadora en grados):
\beta = \tan^{-1} m \longrightarrow \beta = \tan^{-1} (0.5) \approx 26.56
Así que el ángulo de inclinación de la recta y = 0.5x es 26.56°
Gracias por estar en este momento con nosotros : )
