La fórmula de integral del seno :
\int \sin u \cdot du = - \cos u
Veamos unos ejemplos para integrales de senx:
Ejemplo 1. Integral de sen2 x
\int \sin(2x) \ dx=
Sustituimos el 2x por u, derivamos y pasamos dividiendo el 2:
u = 2x \quad \Rightarrow \quad du = 2 \ dx \quad \Rightarrow \quad \cfrac{du}{2} = dx
Y reemplazamos los términos de x por u:
\displaystyle \int \sin(u) \cfrac{du}{2}
Por propiedades de integrales sacamos el \frac{1}{2} de la integral:
\displaystyle \cfrac{1}{2}\int\sin(u) \ du
Ahora aplicamos directamente la fórmula de la integral de seno:
\displaystyle \cfrac{1}{2}\int \sin (u) \ du = \left (\cfrac{1}{2}\right)(-\cos(u))
Y por último sustituimos de vuelta la u por x y la respuesta será:
-\cfrac{1}{2}\cos(2x)
Ejemplo 2. Integral de sen^2
\int \sin^{2}(x) \ dx =
La manera más rápida de hacer esta integral es revisar formulazo en el formulario de integrales y listo. Otra manera es la siguiente:
Para la resolución de esta integral, necesitamos acordarnos de la identidad trigonométrica siguiente:
\sin^{2}(x) = \cfrac{1}{2} - \cfrac{1}{2} \cos(2x)
Sustituyendo el \sin^{2}(x) por \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(2x), tendremos la siguiente integral de una suma:
\displaystyle \int \left(\cfrac{1}{2} - \cfrac{1}{2} \cos(2x) \right)dx
Por propiedades de integrales tendremos una suma de integrales:
\displaystyle \int \cfrac{1}{2} \ dx + \int - \cfrac{1}{2} \cos(2x) \ dx
La primera integral fácilmente la podemos realizar, quedaría de la siguiente forma:
\cfrac{1}{2} x + \int - \cfrac{1}{2} \cos(2x) \ dx
Aplicamos propiedades de las integrales para sacar el - \frac{1}{2} de la integral:
\cfrac{1}{2}x - \cfrac{1}{2} \int \cos(2x) \ dx
Para resolver la segunda integral, tenemos que hacer unos procedimientos que se hicieron en el ejemplo 1, sustituimos 2x por u, derivamos y pasamos dividiendo el 2:
u = 2x \quad \Rightarrow \quad du = 2 \ dx \quad \Rightarrow \quad \cfrac{du}{2} = dx
Ahora sustituimos las x‘s por las u‘s en la segunda integral con la que estamos trabajando:
\cfrac{1}{2}x - \cfrac{1}{2} \int \cos(u) \cfrac{du}{2}
Sacamos el denominador 2 que está en du:
\cfrac{1}{2}x - \cfrac{1}{2}\cfrac{1}{2} \int \cos(u) \ du
Multiplicamos las fracciones de \frac{1}{2}:
\cfrac{1}{2} x - \cfrac{1}{4} \int \cos(u) \ du
Aplicamos la fórmula de integración de coseno que es la siguiente:
\int \cos(u) \ du = \sin (u)
A continuación la integración nos quedará de la siguiente manera:
\cfrac{1}{2}x - \cfrac{1}{4} \sin(u)
Y finalmente sustituimos la u por 2x para obtener nuestro resultado:
\cfrac{1}{2}x - \cfrac{1}{4}\sin(2x)
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